1.

\(\dfrac{V_{SAMC}}{V_{SABC}}=\dfrac{SM}{SB}\)

Theo hệ thức lượng: \(SA^2=SM.SB\Rightarrow SM=\dfrac{SA^2}{SB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{SM}{SB}=\left(\dfrac{SA}{SB}\right)^2\)

\(\Rightarrow V_{SAMC}=\left(\dfrac{SA}{SB}\right)^2.V\)

2.

Ta có: \(\dfrac{V_{SAMN}}{V_{SABC}}=\dfrac{SN}{SC}.\dfrac{SM}{SB}\)

Theo c/m câu a ta có \(\dfrac{SM}{SB}=\left(\dfrac{SA}{SB}\right)^2\)

Tương tự áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SAC:

\(SA^2=SN.SC\Rightarrow SN=\dfrac{SA^2}{SC}\Rightarrow\dfrac{SN}{SC}=\left(\dfrac{SA}{SC}\right)^2\)

\(\Rightarrow V_{SAMN}=\left(\dfrac{SA}{SB}\right)^2.\left(\dfrac{SA}{SC}\right)^2.V\)

a)\(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\widehat{DAE}=90^o\)

Có D là hình chiếu của M trên AB \(\Rightarrow MD\perp AB\Rightarrow\widehat{MDA}=90^o\)

Có E là hình chiếu của M trên AC \(\Rightarrow ME\perp AC\Rightarrow\widehat{AEM}=90^o\)

Xét tứ giác: \(ADEM\) có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DAE}=90^o\\\widehat{MDA}=90^o\\\widehat{AEM}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác ADEM là hình chữ nhật

Vậy tứ giác ADEM là hình chữ nhật.

b)\(\Delta ABC\) vuông tại A có AM là trung tuyến (M là trung điểm BC)

\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\)

Mà \(AM=DE\) (tính chất hcn)

\(\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}BC\left(đpcm\right)\)

Bổ sung đề: Tam giác ABC vuông tại A

 a) Xét tứ giác ADME có:

∠AEM = ∠EAD = ∠ADM = 90⁰ (gt)

⇒ ADME là hình chữ nhật

b) Do ADME là hình chữ nhật (cmt)

⇒ AM = DE (1)

Lại có:

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

⇒ AM = BC/2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DE = BC/2

Đáp án D

Vì A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox, Oy, Oz nên:  A − 3 ; 0 ; 0 B 0 ; 2 ; 0 C 0 ; 0 ; 4

Em có M’ là hình chiếu song song của M trên (ABC) 

Đáp án D

Vì A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox, Oy, Oz nên:  A − 3 ; 0 ; 0 B 0 ; 2 ; 0 C 0 ; 0 ; 4

Em có M’ là hình chiếu song song của M trên (ABC) 

Đáp án C

Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) là x+ y + z +1=0

Diện tích tam giác ABC là

Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và  α là  

Khi đó diện tích tam giác A'B'C'   là   S A ' B ' C ' = S A B C . cos ( A B C ; α ) ^ = 1 2

Chú ý lý thuyết: Nếu đa giác (H) trong mặt phẳng (P) có diện tích S, đa giác (H) trong mặt phẳng là hình chiếu vuông góc (H) của có diện tích S', φ  là góc giữa (P), (P')  thì  S ' = S . cos φ

Chọn đáp án A

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)